Haskell - Programació dinàmica P27104

Aquest exercici explora l’ús de vectors per resoldre problemes de programació dinàmica.

1. Oh, no... Un altre cop! Feu una funció fib :: Int -> Integer que, donat un $n\ge0$, retorni l’$n$-èsim nombre de Fibonaci.

2. Feu una funció binomial :: Int -> Int -> Integer que, donat un enter $n\ge0$ i un enter $0\le k\le n$, retorni el coeficient binomial $\binom n k$, és a dir, el nombre de formes en què es poden escollir $k$ objectes d’entre un conjunt de $n$ sense tenir en compte l’ordre.

3. Feu una funció bst :: Int -> Integer que, donat un $n\ge0$, retorni el nombre d’arbres binaris de cerca amb nodes $1,\dots,n$.

   Per exemple, bst 3 és 5, perquè hi ha 5 arbres binaris de cerca amb nodes 1,2,3:

               1          1         2         3        3
                \          \       / \       /        /
                 2          3     1   3     1        2
                  \        /                 \      /
                   3      2                   2    1

4. Feu una funció coins :: [Int] -> Int -> Int que, donada una llista de $n$ valors de monedes $v_1,\dots,v_n$ i donat un valor $s$, trobi el mínim nombre de monedes que sumen $s$. Cada moneda es pot fer servir diversos (o cap) cops, $s\ge0$ i $v_i>0$ per a tot $i$.

5. Donades dues matrius amb dimensions $n_1 \times n_2$ i $n_2 \times n_3$, el cost de l’algorisme habitual per multiplicar-les és $\Theta(n_1 n_2 n_3)$. Per senzillesa, considerem que el cost és exactament $n_1 n_2 n_3$.

   Suposem que hem de calcular $M_1 \times M_2 \times \dots \times M_m$, on cadascuna de les $M_i$ és una matriu amb dimensions $n_i \times n_{i+1}$. Com que el producte de matrius és associatiu, es pot triar en quin ordre es fan les multiplicacions. Per exemple, per calcular $M_1 \times M_2 \times M_3 \times M_4$, es podria fer $(M_1 \times M_2) \times (M_3 \times M_4)$, amb cost $n_1 n_2 n_3 + n_3 n_4 n_5 + n_1 n_3 n_5$, o bé $M_1 \times ((M_2 \times M_3) \times M_4)$, amb cost $n_2 n_3 n_4 + n_2 n_4 n_5 + n_1 n_2 n_5$, o bé tres altres ordres possibles.

   Feu una funció mult :: [Int] -> Int que trobi el cost mínim de calcular $M_1 \times M_2 \times \dots \times M_m$, donades les dimensions $n_1, n_2, \dots , n_m, n_{m+1}$.

Puntuació

Per a cada apartat, hi ha dos tipus de jocs de proves segons la talla de la seva entrada: els petits i els grans. Els petits es poden resoldre recursivament i dónen 5 punts cadascún. Els grans requereixen programació dinàmica i dónen 15 punts cadascún.