Suma de productes de factors primers P97297

Donat un natural $n \ge 2$, sigui $L(n)$ la llista ordenada dels factors primers d’$n$. Per exemple, $L(105) = [3, 5, 7]$ i $L(40) = [2, 2', 2'', 5]$. (Distingim els dosos per claredat en l’explicació que segueix.)

Definim $S(n)$ com la suma de tots els productes de parells de factors primers dins d’$L(n)$. Formalment, si hi ha $f_n$ factors primers dins d’$L(n)$, $$S(n) = \sum_{1 \le i < f_n} \; \sum_{i < j \le f_n} L[i] \cdot L[j] \enspace .$$ Per exemple, $$S(105) = 3 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + 5 \cdot 7 = 15 + 21 + 35 = 71 \enspace ,$$ $$S(40) = 2 \cdot 2' + 2 \cdot 2'' + 2 \cdot 5 + 2' \cdot 2'' + 2' \cdot 5 + 2'' \cdot 5 = 4 + 4 + 10 + 4 + 10 + 10 = 42 \enspace .$$ Fixeu-vos que, per definició, $S(n) = 0$ per a tot primer $n$.

Podeu calcular $S(n)$ eficientment?

Entrada

L’entrada consisteix en diverses $n$, totes entre 2 i $10^9$.

Sortida

Escriviu la $S(n)$ corresponent a cada $n$ donada.