Generadors de Recamán P62891

La seqüència de Recamán amb paràmetre $k$ va ser descrita pel matemàtic colombià Bernardo Recamán Santos i és definada així:

$$a_n = \begin{cases} 0 & \text{ si $n=0$,}\\ a_{n-1}-n-k & \text{ si $n>0$ i $a_{n-1}-n-k>0$ i $a_{n-1}-n-k$ no ha aparagut abans,}\\ a_{n-1}+n+k & \text{ altrament.}\\ \end{cases}$$

Així, els deu primers termes de la seqüència de Recamán amb $k=0$ són [0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21] i els deu primers termes de la seqüència de Recamán amb $k=2$ són [0, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 18, 28, 17].

1. Escriviu una funció

       def recaman(k: int) -> Iterator[int]

   que, donat un natural $k$, generi la seqüència de Recamán amb paràmetre $k$.

2. Escriviu una funció

       def recaman_from(k: int, n: int) -> Iterator[int]

   que, donat uns naturals $k$ i $n$, generi la seqüència de Recamán amb paràmetre $k$ començant pel terme $n$-èsim.

3. Escriviu una funció

       def recaman_first_completion(k: int, x: int) -> int

   que, donat uns naturals $k$ i $x$, retorni el primer $n$ tal que $\{a_0,...,a_n\}$ conté tots els naturals fins a $x$ ($\{0,...,x\}$). Assumiu que aquest valor existeix, malgrat que aquest fet no ha estat encara mai demostrat.

Observacions

• Implementeu totes les funcions de forma senzilla, clara i concisa aprofitant Python.

• Descarregueu-vos el fitxer code.py i anomeneu-lo recaman.py. El programa principal i l’esquelet de les funcions ja se us dóna implementat.

• El Jutge dóna puntuacions parcials per a cada apartat i pel joc de proves públic, però l’avaluació va a càrrec del professor.