Conjunt de Mandelbrot P25476

Donats dos nombres complexos $c$ i $z$, sigui $f_c(z) = z^2 + c$. Donat un complex $c$, considereu la seqüència infinita $f_c(0), f_c(f_c(0)), \dots$ Per definició, el conjunt de Mandelbrot està compost pels valors de $c$ tals que la seva seqüència infinita està afitada en valor absolut. Per exemple, amb $c = -2$ obtenim $-2, 2, 2, 2, \dots$, la qual està afitada. En canvi, amb $c = 1$ obtenim $1, 2, 5, 26, \dots$, la qual tendeix a infinit. Per tant, $-2$ pertany al conjunt però 1 no.

Sigui $c = x + yi$, i sigui $q(c) = x^2 + y^2$. En general, donat un $c$, no és senzill determinar si pertany al conjunt. Però se sap que cap $c$ tal que $q(c) > 4$ hi pertany. Així que aquí usarem una aproximació molt usual: Per a cada punt $c$ en qüestió, anirem comprovant que $q(c) \le 4$, que $q(f_c(0)) \le 4$, que $q(f_c(f_c(0))) \le 4$, com a molt $k$ vegades. Si, en algun moment, la condició no es compleix, sabrem segur que el nombre no pertany al conjunt. Altrament, si la condició es compleix $k$ vegades, suposarem que sí que hi pertany. Com mes gran sigui $k$, menys errors cometrà el programa, però a canvi més temps trigarà.

Feu un programa que dibuixi una zona del conjunt de Mandelbrot amb dos colors: un per als punts de dins del conjunt i l’altre per als de fora del conjunt.

Entrada

L’entrada consisteix en dos noms de colors $c_1$ i $c_2$, seguits de sis enters $x_1$, $x_2$, $y_1$, $y_2$, $e$, i $k$. Suposeu $x_1 < x_2$, $y_1 < y_2$, $e \ge 1$, i $k \ge 1$.

Sortida

Genereu una imatge $(x_2 - x_1 + 1, y_2 - y_1 + 1)$. El paràmetre $e$ indica l’escalat de la imatge: Les $x$ a considerar són $x_1/e, (x_1 + 1)/e, \dots, (x_2 - 1)/e$, i $x_2/e$, i de forma similar amb les $y$. (Com a mostra, el primer exemple d’entrada té les $x$ entre $-1.5$ i $0.7$, i les $y$ entre $-1$ i $1$, ambdues dimensions amb increments de $0.01$.) Per a cada punt $p = (x, y)$, comenceu en $c = x + yi$. Si es compleix la condició mencionada anteriorment $k$ vegades, llavors cal pintar el punt $p$ de color $c_1$; altrament de color $c_2$.

Observacions

• Recordeu que $(\alpha + \beta i) + (\gamma + \delta i) = (\alpha + \gamma) + (\beta + \delta) i$.

• Recordeu que $(\alpha + \beta i) \cdot (\gamma + \delta i) = (\alpha \cdot \gamma - \beta \cdot \delta) + (\beta \cdot \gamma + \alpha \cdot \delta) i$.

• Els càlculs per fer aquest dibuixos són costosos. Per això els paràmetres dels jocs de proves són moderadament grossos. Proveu d’executar el vostre programa amb més punts de resolució i una $k$ més grossa per obtenir imatges més precises.