Conjunt de Mandelbrot P25476

Graphic problem

Donats dos nombres complexos c i z, sigui f_c(z) = z² + c. Donat un complex c, considereu la seqüència infinita f_c(0), f_c(f_c(0)), … Per definició, el conjunt de Mandelbrot està compost pels valors de c tals que la seva seqüència infinita està afitada en valor absolut. Per exemple, amb c = −2 obtenim −2, 2, 2, 2, …, la qual està afitada. En canvi, amb c = 1 obtenim 1, 2, 5, 26, …, la qual tendeix a infinit. Per tant, −2 pertany al conjunt però 1 no.

Sigui c = x + yi, i sigui q(c) = x² + y². En general, donat un c, no és senzill determinar si pertany al conjunt. Però se sap que cap c tal que q(c) > 4 hi pertany. Així que aquí usarem una aproximació molt usual: Per a cada punt c en qüestió, anirem comprovant que q(c) ≤ 4, que q(f_c(0)) ≤ 4, que q(f_c(f_c(0))) ≤ 4, com a molt k vegades. Si, en algun moment, la condició no es compleix, sabrem segur que el nombre no pertany al conjunt. Altrament, si la condició es compleix k vegades, suposarem que sí que hi pertany. Com mes gran sigui k, menys errors cometrà el programa, però a canvi més temps trigarà.

Feu un programa que dibuixi una zona del conjunt de Mandelbrot amb dos colors: un per als punts de dins del conjunt i l’altre per als de fora del conjunt.

Entrada

L’entrada consisteix en dos noms de colors c₁ i c₂, seguits de sis enters x₁, x₂, y₁, y₂, e, i k. Suposeu x₁ < x₂, y₁ < y₂, e ≥ 1, i k ≥ 1.

Sortida

Genereu una imatge (x₂ − x₁ + 1, y₂ − y₁ + 1). El paràmetre e indica l’escalat de la imatge: Les x a considerar són x₁/e, (x₁ + 1)/e, …, (x₂ − 1)/e, i x₂/e, i de forma similar amb les y. (Com a mostra, el primer exemple d’entrada té les x entre −1.5 i 0.7, i les y entre −1 i 1, ambdues dimensions amb increments de 0.01.) Per a cada punt p = (x, y), comenceu en c = x + yi. Si es compleix la condició mencionada anteriorment k vegades, llavors cal pintar el punt p de color c₁; altrament de color c₂.

Observacions

• Recordeu que (α + β i) + (γ + δ i) = (α + γ) + (β + δ) i.
• Recordeu que (α + β i) · (γ + δ i) = (α · γ − β · δ) + (β · γ + α · δ) i.
• Els càlculs per fer aquest dibuixos són costosos. Per això els paràmetres dels jocs de proves són moderadament grossos. Proveu d’executar el vostre programa amb més punts de resolució i una k més grossa per obtenir imatges més precises.