Sistemes monetaris canònics (2)

Gairebé tots els sistemes de monedes que es fan servir són canònics:
això vol dir que l’algoritme greedy per assolir una quantitat, és a dir,
fer servir cada vegada la més alta denominació possible, proporciona
sempre el mínim nombre de monedes.

Dòlars, euros, i els sistemes europeus abans de l’euro com ara pessetes
o gulden holandesos, tenen aquesta propietat. Tanmateix, no sempre és
així. Les lliures esterlines d’UK, abans del canvi fet el 15 de febrer
de 1971, estaven molt lluny de ser un sistema canònic (veure
https://en.wikipedia.org/wiki/Decimal_Day). Com a exemple senzill, amb
monedes d’1 unitat, 5 unitats i 8 unitats, l’estratègia greedy no
condueix a una configuració òptima per sumar 15 unitats: hi tria primer
8, llavors 5, i li calen dos 1’s, quan amb tres 5’s hi ha prou; diem que
aquest valor 15 és un contraexemple a la canonicitat del sistema.

El 1993, Dexter Kozen and Shmuel Zaks van provar matemàticament que, si
un sistema no és canònic, aleshores hi ha un contraexemple per sota de
la suma de les dues denominacions més altes del sistema. Amb això,
podràs distingir sistemes canònics (encara que posteriorment s’han
trobat algoritmes més eficients).

Entrada

El programa rebrà primer un enter no negatiu n indicant quants casos hi
ha. Desprès hi haurà n casos. Cada cas comença amb m, un enter positiu
que diu quantes denominacions diferentes de monedes té el sistema,
seguit de les denominacions: m enters positius ordenats ascendentment i
on la denominació més petita sempre serà 1 (altrament, la quantitat 1 no
es pot assolir).

Sortida

Per cada cas, el programa ha d’escriure una línia. Si el cas és un
sistema canònic, escriu les denominacions del cas en ordre ascendent
seguides de les paraules "is canonical". Si no ho és, escriu el
contraexemple més petit, les paraules "proves that", les denominacions
del cas en ordre ascendent, i les paraules "is not canonical".

Observació

Solucions poc eficients tindran poques possibilitats de ser acceptades
ací. A l’exercici "germà" X24976, que demana resoldre el mateix poblema,
la solució de referència és més lenta i solucions relativament lentes
poden resultar acceptades enllà.

Informació del problema

Autoria: José Luis Balcázar

Generació: 2026-01-25T17:06:26.236Z

© Jutge.org, 2006–2026.
https://jutge.org
