Fracción continua mcd

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Todo número racional $\displaystyle\frac{n}{m}$ se puede representar como el resultado de una fracción contínua finita.

Por ejemplo:

$\displaystyle\frac{972}{421} = 2 + \displaystyle\frac{1}{3 + \displaystyle\frac{1}{4 + \displaystyle\frac{1}{5 + \displaystyle\frac{1}{6}}}}$

Esta representación se suele codificar con la lista de los valores enteros que se suman más el último denominador: [2, 3, 4, 5, 6]

Los números de esta lista coinciden con los cocientes del cálculo del algoritmo de Euclides para el máximo común divisor:

$$\begin{equation} mcd(a, b) = mcd(b, a \% b) \\ \end{equation}$$ $\begin{equation} mcd(a, 0) = a \end{equation}$

Las reducidas (P y Q) son las sumas parciales de los quebrados de enteros de la fracción continua. Cualquier pareja P, Q sirve como aproximación válida P/Q al racional. Se pueden calcular en paralelo al mcd:

    ------------------------------
    a |     | 972 421 130  31   6}
    b |     | 421 130  31   6   1}
    r |     | 130  31   6   1   0}-- cálculo del MCD
    q |     |   2   3   4   5   6}
    ------------------------------
    P | 0 1 |   2   7  30 157 972}-- cálculo de las reducidas
    Q | 1 0 |   1   3  13  68 421}

P y Q se han calculado operando de la siguiente manera:

    P -> 1*2+0 2  2*3+1 7  7*4+2 30  30*5+7 157  157*6+30 972
         -----=-, -----=-, -----=--, ------=---, --------=---
    Q -> 0*2+1 1  1*3+0 3  3*4+1 13  13*5+3  68   68*6+13 421

Se pide que diseñes la función $fraccion\_continua\_mcd$ que, dados dos valores enteros $n$ (numerador) y $m$ (denominador), ambos enteros positivos, calcule los cocientes y restos del MCD siguiendo el algoritmo de Euclides y en paralelo calcule las P y Q de las reducidas.

El programa tiene que devolver tres listas: los cocientes del MCD, las P y las Q.

Ejemplo de sessión

Información del problema

Autoría: InfBesos

Generación: 2026-01-25T19:39:19.315Z