Autòmats finits deterministes

Donat un autòmat finit determinista sobre l’alfabet binari i un nombre natural $m$ , volem calcular el nombre de paraules de longitud $0$ , $1$ , $2$ , ..., $m$ acceptades per l’autòmat.

Per exemple, considerem l’autòmat següent:

Hi ha tres estats $0$ , $1$ i $2$ , dels quals només l’estat $0$ és d’acceptació. L’estat $0$ és també l’estat inicial.

Aleshores:

De longitud $0$ hi ha una única paraula acceptada, la paraula buida.
De longitud $1$ només s’accepta la paraula $0$ .
De longitud $2$ només s’accepten les paraules $00$ i $11$ .
De longitud $3$ només s’accepten les paraules $000$ , $011$ i $110$ .
De longitud $4$ només s’accepten les paraules $0000$ , $0011$ , $0110$ , $1001$ , $1100$ i $1111$ .

(de fet, es pot veure que el llenguatge d’aquest autòmat són els múltiples de $3$ , representats en binari)

De manera que si $m=4$ aleshores la sortida hauria de consistir en els nombres $1$ , $1$ , $2$ , $3$ , $6$ .

Entrada

L’entrada comença amb $n$ , el nombre d’estats de l’autòmat finit, que es representen amb nombres naturals entre $0$ i $n-1$ . A continuació es descriu la funció de transició $\delta$ de l’autòmat: en primer lloc vénen $n$ nombres, corresponents a les imatges dels estats amb el símbol $0$ : $\delta(0, 0)$ , $\delta(1, 0)$ , …, $\delta(n-1, 0)$ . Després vénen un altres $n$ nombres, corresponents a les imatges dels estats amb el símbol $1$ : $\delta(0, 1)$ , $\delta(1, 1)$ , …, $\delta(n-1, 1)$ . A continuació vénen $n$ zeros i uns, que indiquen per cada estat $0$ , …, $n-1$ si és d’acceptació (1) o no (0). L’estat inicial sempre és l’estat 0. Finalment l’entrada acaba amb el nombre $m$ , la màxima longitud que es vol considerar.

Sortida

Per cada valor $l$ entre $0$ i $m$ , escriviu el nombre de paraules acceptades per l’autòmat de longitud $l$ . Es garanteix que tots els nombres són més petits que $10^{9}$ .

Observació

Resoleu aquest problema amb programació dinàmica.

Informació del problema

Autoria: Enric Rodríguez

Generació: 2026-01-25T16:47:03.577Z