Índex de poder de Banzhaf (1)

En un parlament hi ha n partits polítics, als que ens referirem com 1,
2, …, n. El partit polític i té w_(i) escons. Les lleis parlamentàries
fixen que, per tal que una votació sigui aprovada, cal que hi hagi un
mínim de q vots favorables, on q és anomenada la quota del parlament.
Així doncs, una coalició de partits S ⊆ {1, 2, …, n} és guanyadora si
∑_(i ∈ S)w_(i) ≥ q (assumirem que els membres d’un partit segueixen la
disciplina de vot); i que és perdedora altrament.

L’índex de poder de Banzhaf és una manera de quantificar el poder d’un
partit polític en les votacions. Es pot calcular de la forma següent:

1.  Es llisten totes les coalicions guanyadores.

2.  En cadascuna d’aquestes coalicions, s’identifiquen els partits
    crítics. Un partit és crític en una coalició guanyadora si, sense
    aquest partit, la coalició passa a ser perdedora.

3.  L’índex de poder d’un partit és el nombre de vegades que aquest
    partit és crític dividit pel nombre de vegades que qualsevol partit
    és crític.

Per exemple, si q = 8, n = 3, w₁ = 6, w₂ = 3 i w₃ = 2, hi ha tres
coalicions guanyadores:

- {1, 2}, en la qual tots dos són crítics (ni {1} ni {2} són coalicions
  guanyadores).

- {1, 3}, en la qual tots dos són crítics (ni {1} ni {3} són coalicions
  guanyadores).

- {1, 2, 3}, en la qual només 1 és crític (perquè tant {1, 2} com {1, 3}
  són guanyadores, però no {2, 3}).

En total, 1 és crític 3 cops, 2 és crític 1 cop, i 3 és crític 1 cop.
Com que el nombre de vegades que qualsevol partit és crític és
3 + 1 + 1 = 5, els índexs de poder dels partits 1, 2 i 3 són
$\frac{3}{5}$, $\frac{1}{5}$ i $\frac{1}{5}$, respectivament.

Un politòleg vol calcular els índexs de poder dels partits del
parlament, però no se’n surt. Podeu generar-li totes les coalicions
guanyadores, i indicar-li quins partits són crítics en cadascuna
d’elles?

Entrada

L’entrada consisteix en diversos casos. Cada cas comença amb q, la
quota, i n, el nombre de partits. A continuació vénen n nombres w_(i).
Podeu suposar que 2 ≤ n ≤ 10, que 0 < w_(i) ≤ 50 per tot 1 ≤ i ≤ n, i
que $\frac{s}{2} \leq q \leq s \leq 500$, on $s = \sum_{i=1}^{n} w_{i}$.
En particular, això garanteix que sempre hi haurà almenys un partit
crític.

Sortida

Per cada cas, genereu totes les coalicions guanyadores en l’ordre
següent: primer les que no tenen 1, després les que sí; en cas d’empat,
primer les que no tenen 2, després les que sí; en cas d’empat, primer
les que no tenen 3, després les que sí; i així successivament. Per
cadascuna de les coalicions guanyadores, indiqueu quins partits són
crítics, en ordre numèric creixent. Seguiu el format dels jocs de prova
públics. Acabeu cada cas amb una línia amb 10 guions.

Informació del problema

Autoria: Enric Rodríguez

Generació: 2026-01-25T18:45:43.992Z

© Jutge.org, 2006–2026.
https://jutge.org
