Coeficients binomials

El coeficient binomial o nombre combinatori $\binom{n}{k}$ és el nombre
de maneres de triar k objectes d’un total de n. La seva fórmula és ben
coneguda:
$$\binom{n}{k} = \frac{ n! }{ k! (n-k)! } \enspace ,$$
on n! = n ⋅ (n − 1)⋯2 ⋅ 1. Aquesta fórmula no és massa pràctica des d’un
punt de vista computacional, perquè s’ha de treballar amb nombres molt
grossos (els factorials) per acabar obtenint un resultat molt més petit.
Per exemple,
$$\binom{20}{10} = \frac{ 20! }{10! 10!} = \frac{2432902008176640000}{1316819440000} = 184756 \enspace ,$$
on es pot veure que, tot i que el nombre final només té 6 xifres, ens ha
fet falta calcular 20!, que en té 19. Això pot ser un problema, ja que
el tipus int de 32 bits no pot emmagatzemar nombres amb més de 10
xifres.

Aquesta, però, no és l’única manera de calcular $\binom{n}{k}$. Per
exemple, els nombres combinatoris satisfan la propietat següent:
$$\binom{n}{k} = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{si $k = 0$ o $k = n$} \\
\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} & \mbox{si $0<k<n$}
\end{array}
\right.$$
Aquesta fórmula recursiva permet calcular els nombres combinatoris sense
multiplicacions ni divisions, mitjançant un procediment conegut avui en
dia com a “Triangle de Pascal” o “Triangle de Tartaglia”, encara que
tingui referències històriques amb més de 1000 anys d’antiguitat:

  --- --- --- --- --- --- --- --- ---
                   1              
               1       1          
           1       2       1      
       1       3       3       1  
   1       4       6       1       1
                   …              
  --- --- --- --- --- --- --- --- ---

   

  ---------------- ---------------- ---------------- ---------------- ---------------- ---------------- ---------------- ---------------- ----------------
                                                                       $\binom{0}{0}$                                                     
                                                      $\binom{1}{0}$                    $\binom{1}{1}$                                    
                                     $\binom{2}{0}$                    $\binom{2}{1}$                    $\binom{2}{2}$                   
                    $\binom{3}{0}$                    $\binom{3}{1}$                    $\binom{3}{2}$                    $\binom{3}{3}$  
   $\binom{4}{0}$                    $\binom{4}{1}$                    $\binom{4}{2}$                    $\binom{4}{3}$                    $\binom{4}{4}$
                                                                             …                                                            
  ---------------- ---------------- ---------------- ---------------- ---------------- ---------------- ---------------- ---------------- ----------------

Per calcular més nombres combinatoris només cal omplir més files del
triangle. Feu servir aquesta idea per calcular diversos nombres
combinatoris.

Entrada

La entrada consisteix en diversos casos, cadascun amb dos naturals n i
k, on 0 ≤ n ≤ 30 i 0 ≤ k ≤ n.

Sortida

Per a cada cas, cal escriure $\binom{n}{k}$.

Informació del problema

Autoria: Unknown
Traducció: Carlos Molina

Generació: 2026-01-25T12:02:49.812Z

© Jutge.org, 2006–2026.
https://jutge.org
