Números amigos

Una vez, Beremiz le explicó al califa de Bagdad:

“Consideremos los números 220 y 284. Los divisores de 220 positivos y
menores que 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, y su suma
es 284. Los divisores de 284 positivos y menores que 284 son 1, 2, 4, 71
y 142, y su suma es 220. De esta relación los matemáticos llegaron a la
conclusión de que 220 y 284 son amigos, porque cada uno de ellos parece
honrar al otro.”

Entrada

La entrada consiste en como mucho 10⁴ números naturales n entre 1 y 10⁸.

Salida

Para cada natural n, sea s(n) la suma de los divisores positivos de n
que son menores que n. Consideremos la sucesión
n, s(n), s(s(n)), s(s(s(n))), … Si n tiene un amigo, la sucesión es
cíclica de periodo 2 desde su inicio. Por ejemplo, para n = 220 tenemos
220, 284, 220, … Si n es perfecto, la sucesión es cíclica de periodo 1
desde su inicio. Por ejemplo, para n = 6 tenemos 6, 6, …

Generalizando, éstas son las tres situaciones posibles: (i) La secuencia
alcanza un ciclo (de periodo 1, 2 o mayor) después de cero o más pasos.
(ii) La secuencia llega al número 1. Teniendo en cuenta que s(1) = 0,
paramos la secuencia. (iii) La secuencia crece mucho, hasta el punto de
no saber si alcanzará un ciclo en algún momento, o si tiende a infinito.
En este problema, arbitrariamente pararemos la secuencia si en algún
momento se supera el número 10⁸.

Para cada n dado, escribid una línea con los primeros términos de su
secuencia, parando cuando se repetiría algún número, cuando se llegue a
1, o cuando se pase de 10⁸.

Información del problema

Autoría: Salvador Roura

Generación: 2026-01-25T11:26:03.785Z

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