Generadors de Collatz

Sigui $n$ qualsevol natural estrictament positiu. Considereu el procés següent: Si $n$ és parell, dividiu-lo per dos. Altrament, multipliqueu-lo per 3 i sumeu-li 1. Quan arribeu a 1, pareu. Per exemple, començant en 3, s’obté la seqüència de Collatz $S(3)$ : $3,~ 10,~ 5,~ 16,~ 8,~ 4,~ 2,~ 1 .$

Des de l’any 1937 es conjectura que aquest procés acaba per a qualsevol $n$ inicial, encara que no ho ha sabut demostrar ningú. En aquest problema suposarem que la conjectura és certa.

Escriviu una funció
```
    def collatz (n: int) -> Iterator[int]
```
que, donat un natural $n\ge 1$ , generi la seqüència de Collatz $S(n)$ .
Escriviu una funció
```
    def collatz_length (n: int) -> int
```
que, donat un natural $n\ge 1$ , retorni la llargada d’ $S(n)$ .
Escriviu una funció
```
    def collatz_highest (n: int) -> int
```
que, donat un natural $n\ge 1$ , retorni l’element més alt d’ $S(n)$ .
Escriviu una funció
```
    def collatz_highest_position (n: int) -> tuple[int, int]
```
que, donat un natural $n\ge1$ , retorni una tupla amb la posició de l’element més alt d’ $S(n)$ i el seu valor. Les posicions es comencen a comptar des de zero.
Escriviu una funció
```
        def collatz_11(int) -> bool
```
que, donat un natural $n\ge1$ , indiqui si $S(n)$ conté algún múltiple de 11 (excepte en la primera posició).
Escriviu una funció
```
    def collatz_first_common (n1: int, n2: int) -> int
```
que, donats dos naturals $n_1,n_2\ge1$ , retorni el primer element comú d’ $S(n_1)$ i $S(n_2)$ .
Escriviu una funció
```
    def collatz_common_elements (n1: int, n2: int) -> int
```
que, donats dos naturals $n_1,n_2\ge1$ , retorni el nombre d’elements comuns en $S(n_1)$ i $S(n_2)$ .
Escriviu una funció
```
    def collatz_union (n1: int, n2: int) -> list[int]
```
que, donats dos naturals $n_1,n_2\ge1$ , retorni tots els elements d’ $S(n_1)$ i $S(n_2)$ en ordre estrictament creixent.
Escriviu una funció
```
    def collatz_top_numbers() -> Iterator[int]
```
que generi la llista infinita de valors inicials pels quals el seu element més alt és més gran que qualsevol dels valors inicials menors Altrament dit, es vol la seqüència descrita per $[i \mid \max S(i) > \max S(j) \ \ \forall j < i]$ .
Escriviu una funció
```
    def collatz_first_missing(n: int) -> int
```
que, donat un natural $n\ge1$ , retorni el natural no nul més petit que no pertany a $S(n)$ .

Observacions

Implementeu totes les funcions de forma senzilla, clara i concisa treient profit de Python.
Descarregueu-vos el fitxer code.py. El programa principal i l’esquelet de les funcions ja se us dóna implementat.
El Jutge dóna puntuacions parcials per a cada apartat, però l’avaluació va a càrrec del professor.

Informació del problema

Autoria: Jordi Petit

Generació: 2026-01-25T11:10:41.689Z